List of Topics

$\dagger$ - требуется рефакторинг

◦ Неприводимые многочлены над полем рациональных и целых чисел
◦ Критерий Эйзенштейна
◦ Кольцо многочленов
◦ Простейшие свойства многочленов
◦ Деление многочленов с остатком
◦ Деление многочленов. Свойства отношения делимости
◦ Отношение ассоциированности
◦ Наибольший общий делитель многочленов. Теорема существования. Ассоциированность НОД
◦ Выражение НОД через исходные многочлены
◦ Взаимно простые многочлены и их свойства
◦ Алгебраически замкнутые поля. Разложение многочленов над алгебраически замкнутым полем
◦ Неприводимые многочлены и их свойства
◦ Теорема о разложении в произведение неприводимых многочленов
◦ Каноническое разложение
◦ Многочлены над полем рациональных чисел и кольцом целых чисел
◦ Примитивные многочлены и их свойства
◦ Значение многочлена. Корни многочлена
◦ Теорема Безу
◦ Равенство многочленов, совпадающих как функции
◦ Интерполяционный многочлен Лагранжа
◦ Алгоритм Кронекера
◦ Производная многочлена и ее свойства
◦ Кратные множители многочлена. Алгоритм выделения кратных множителей
◦ Разложение многочленов на неприводимые множители над полем действительных чисел
◦ Лексикографический порядок на множестве и его свойства
◦ Симметрические многочлены
◦ Представление симметрического многочлена через основные симметрические многочлены
◦ Перестановки. Инверсии и четность перестановки. Транспозиции в перестановках
◦ Подстановки. Четность подстановки
◦ Определение определителя квадратной матрицы. Свойства определителя квадратной матрицы
◦ Минорный ранг матрицы
◦ Понятие минора матрицы
◦ Теорема Лапласа
◦ Полураспавшиеся и распавшиеся матрицы. Определитель полураспавшейся и квазидиагональной матриц
◦ Определитель произведения квадратных матриц
◦ Крамеровы системы линейных уравнений. Формулы Крамера
◦ Критерий обратимости матрицы в терминах её определителя
◦ Формула для обратной матрицы
◦ Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования
◦ Характеристический многочлен. Условия существования собственных векторов
◦ Инвариантные подпространства линейного преобразования
◦ Матрица линейного преобразования с инвариантными подпространствами
◦ Сопряжённое отображение. Его свойства и единственность
◦ Дважды сопряженное отображение. Существование сопряженного отображения
◦ Взаимосвязь между инвариантными подпространствами линейного преобразования и сопряженного к нему
◦ Нормальное преобразование и свойства его собственных векторов
◦ Теорема о структуре нормального линейного преобразования (случай разложимости характеристического многочлена на линейные множители)
◦ Изометрические операторы и их свойства
◦ Самосопряженные линейные преобразования
◦ Строение их матрицы
◦ Сингулярное представление линейного отображения
◦ Билинейные и квадратичные функции. Билинейные и квадратичные формы. Матрица билинейной формы
◦ Эквивалентные формы и матрицы
◦ Квадратичные функции и формы
◦ Связь с симметричными билинейными функциями и формами. Эквивалентность квадратичных функций и форм
◦ Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям
◦ Канонический и нормальный виды квадратичной формы
◦ Приведение формы к каноническому виду
◦ Единственность нормального вида над $\mathbb{C}$
◦ Закон инерции вещественных квадратичных форм
◦ Знакоопределённые вещественные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
◦ Эллипс
◦ Директориальное свойство эллипса
◦ Гипербола
◦ Директориальное свойство гиперболы
◦ Парабола
◦ Приведение кривых второго порядка к каноническому виду
◦ Цилиндрические поверхности
◦ Конические поверхности
◦ Параболоиды
◦ Гиперболоиды
◦ Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду
◦ Эллипсоид
◦ Корневые подпространства
◦ Существование жорданова базиса. Жорданова форма матрицы

Дополнительная информация:
- Матрицы перехода
- Теорема Виета